규모에 대한 수익 (feat. 콥 더글러스 생산함수)

개념

 

모든 생산량을 동일한 비율로 변화시킬 때,

 

생산량의 변화를 나타내는 것.

 

규모의 보수라고도 한다.

 

장기에만 성립하는 개념이다.

 

규모에 대한 보수 증가, 보수 불변, 보수 감소가 나타난다.

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동차함수와 규모에 대한 수익

 

f(tx, ty) = t^r f(x,y) (단, t는 0이 아닌 임의의 실수)

 

이 함수식을 r차 동차함수라고 한다.

 

r의 값에 따라 규모에 대한 수익이 달라진다.

 

                   

                  r>1 → 생산량이 t배보다 많이 증가 → IRS(increasing returns to scale) → 규모에 대한 수익체증

            r=1 → 생산량이 t배 만큼 증가 → CRS(constant returns to scale) → 규모에 대한 수익 불변

                    r<1 → 생산량이 t배보다 적게 증가 →DRS(decreasing returns to scale) → 규모에 대한 수익 체감

 

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수확체감의 법칙과 규모에 대한 수익

 

수확 체감의 법칙	규모에 대한 수익
단기	장기
고정요소 존재	모든 생산요소를 같은 비율로 증가
규모에 대한 보수와 상관없이 단기에 무조건 성립
장기에 어떤 형태의 규모의 보수와도 양립 가능

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 콥 더글러스 생산함수

 

Q = AL^α K^β (단, α>0, β>0)

 

A는 기술계수

   

α,β 의 크기에 따라 한계생산물이 체감, 체증한다.

 

MP(L)= dQ/dL = AL^α-1 K^β (노동만 가변요소일 때 한계생산)

 

α>1 이면 한계생산 체증

α=1 이면 한계생산 불변

α<1 이면 한계생산 체감

 

MP(K)= dQ/dK = AL^α K^β-1 (자본만 가변요소일 때 한계생산)

 

β>1 이면 한계생산 체증

β=1 이면 한계생산 불변

β<1 이면 한계생산 체감

 

한계기술대체율 체감

 

MRTS(LK) = MP(L)/MP(K) = AL^α-1 K^β/AL^α K^β-1 = (α/β)(K/L)

 

원래 이렇게 안복잡한데 컴퓨터로 쓰려니까 너무 복잡해보이네;;

 

어쨋든 결과적으로

 

MRTS(LK) = MP(L)/MP(K) = (α/β)(K/L) 이 나옵니다.

 

α,β의 크기에 상관없이 항상 체감하는 직각쌍곡선의 모습을 상상해볼 수 있습니다.

 

 

 

α+β차 동차함수는

 

노동과 자본이 모두 t배 증가하면 생산량은 t^α+β배 증가하므로 α+β차 동차함수입니다.

 

α+β>1, =1 ,<1 에 따라 규모에 대한 수익이 체증, 불변, 체감이 되는 것입니다.